Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Продолжаем изучать действия с обыкновенными дробями. Здесь мы разберемся, как проводится вычитание обыкновенных дробей. Сначала получим правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями и приведем примеры вычитания с подробными решениями. После этого остановимся на вычитании дроби из натурального числа и вычитании числа из дроби. В заключение покажем, как проводится вычитание обыкновенных дробей с использованием свойств этого действия.
Сразу заметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о вычитании меньшей дроби из большей дроби. Другие случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел.
Навигация по странице.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: 
. Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, 
.
Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.
Озвученное правило с помощью букв записывается так: 
. Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби 24/15 .
Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24 , а числитель вычитаемого равен 17 , их разность равна 7 ( 24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15 .
Краткий вариант решения выглядит так: 
.
.
При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби, которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычислите разность 
.
Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
Очевидно, числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите признак делимости на 2), то есть, 22/12 – сократимая дробь. Выполнив сокращение этой дроби на 2 , приходим к дроби 11/6 .
Дробь 11/6 – неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби). Поэтому из нее нужно выделить целую часть: 
.
Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна 
.
Вот все решение: 
.
.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.
Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями, надо:
- привести дроби к общему знаменателю (обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю);
- вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями.
Отнимите от обыкновенной дроби 2/9 обыкновенную дробь 1/15 .
Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю: так как НОК(9, 15)=45 , то дополнительным множителем дроби 2/9 является число 45_9=5 , а дополнительным множителем дроби 1/15 является число 45_15=3 , тогда 
и 
.
Осталось вычесть из дроби 10/45 дробь 3/45 , получаем 
, что и дает нам искомую разность дробей с разными знаменателями.
Кратко решение записывается так: 
.
.
Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.
Вычтите из дроби 19/9 дробь 7/36 .
После приведения дробей с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю 36 , имеем дроби 76/9 и 7/36 . Вычисляем их разность: 
.
Полученная дробь сократима, после ее сокращения на 3 , получаем 23/12 . А эта дробь неправильная, выделив из нее целую часть, имеем 
.
Соберем воедино все выполненные действия при вычитании исходных дробей с разными знаменателями: .
.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Разберем решение примера.
Выполните вычитание числа 3 из дроби 83/21 .
Так как число 3 равно дроби 3/1 , то .
.
Однако вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа. Покажем решение предыдущего примера этим способом.
Отнимите число 3 от дроби 83/21 .
Сначала выделим целую часть из неправильной дроби 83/21 , имеем 
, тогда 
. Осталось провести вычитание натурального числа из смешанного числа: 
.
.
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь. Разберем решение примера, иллюстрирующего такой подход.
Отнимите обыкновенную дробь 5/3 от натурального числа 7 .
Представим число 7 как дробь 7/1 , после чего выполним вычитание: .
Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ 
.
.
Однако существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества особенно заметны, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Все это будет видно из примеров ниже.
Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 13/62 из натурального числа 1 065 .
Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1 065 суммой 1 064+1 , при этом получим 
. Осталось вычислить значение полученного выражения (подробнее о вычислении таких выражений мы поговорим в следующем пункте).
В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать как 
. Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью 1/1 , имеем 
. Таким образом, . На этом вычитание дроби 13/62 из натурального числа 1 065 завершено.
Вот все решение:
А теперь для сравнения покажем, с какими числами нам бы пришлось работать, если бы мы решили свести вычитание исходных чисел к вычитанию дробей:
.
Если же вычитаемая дробь неправильная, то ее можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа.
Отнимите от натурального числа 644 дробь 73/5 .
Выделим целую часть из неправильной дроби: 
. Тогда .
Осталось лишь выполнить вычитание правильной дроби из натурального числа, поступим также как в предыдущем примере: .
.
Использование свойств вычитания при вычитании дробей
Для вычитания обыкновенных дробей справедливы все свойства вычитания натуральных чисел. Это следует из смысла, который мы придали обыкновенным дробям и операции вычитания дробей. Свойства вычитания позволяют вычислять значения выражений с дробями. Рассмотрим примеры.
Вычислите значение выражения 
.
Решения подобных примеров с натуральными числами разобраны в разделе вычитание суммы из числа. Здесь будем действовать аналогично.
Сначала вычислим разность 
, после чего от нее отнимем дробь 5/6 . Итак, 
и 
. После выделения целой части из полученной неправильной дроби получаем 
.
Так выглядит краткая запись решения: .
.
Когда выражение содержит и натуральные числа и дроби, то при вычислении удобно группировать числа с числами, а дроби с дробями.
Выполните вычитание суммы натурального числа и обыкновенной дроби 
из суммы натурального числа и обыкновенной дроби 
.
Нам нужно вычислить разность 
. Свойства сложения и вычитания позволяют нам провести следующую группировку , что упрощает вычисления. Осталось лишь закончить вычисления: .
.
Вычитание дробей
При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.
Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.
В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:
Вычитание правильной дроби из единицы
Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.
Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь
Вычитание правильной дроби из целого числа
Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.
Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.
В примере единицу мы заменили неправильной дробью
Вычитание смешанных чисел
При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.
Первый случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).
Второй случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей разные знаменатели.
В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Третий случай вычитания смешанных чисел
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.
Как из целого числа вычесть дробь
Как из целого числа вычесть дробь? Для этого надо целое число представить в виде смешанной дроби.
Мы уже рассмотрели вычитание дроби из единицы. Рассмотрим вычитание дроби из других целых чисел.
Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо
1) представить его в виде смешанного числа.
Для этого число уменьшаем на единицу и представить эту единицу в виде дроби, у которой и числитель, и знаменатель равны знаменателю вычитаемого.
2) из смешанного числа вычесть дробь.
Для этого целую часть оставляем без изменения, а из дробной части уменьшаемого вычитаем дробную часть вычитаемого.
С помощью букв правило вычитания дроби из целого числа можно записать так:
Выполнить вычитание дроби из целого числа:
18 Comments
Спасибо, раньше не понимал, сейчас как орешки щелкаю!
Источники:
http://www.cleverstudents.ru/numbers/subtraction_of_fractions.html
http://math-prosto.ru/?page=pages/drob/subtraction_drobs.php
http://www.for6cl.uznateshe.ru/kak-iz-celogo-chisla-vychest-drob/